Lorsqu'un jet fluide vient frapper une surface solide, il exerce sur celle-ci une force qui est fonction de la vitesse du jet et de la forme géométrique du solide.
Ici, on fait l'approximation du
Fluide parfait.
Hypothèses
- Les filets fluides sont suffisamment étroits pour que la pression \(P\), et la vitesse \(v\) restent constantes dans une section droite
- Le mouvement est permanent (Ecoulement stationnaire)
- Le fluide est incompressible
Enoncé
Enoncé du théorème d'Euler
Soient \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\) les vitesses suppossées constantes de sections entrantes \(S_1\) et \(S_2\) d'un volume de fluide de référence \(V\).
La variation de la quantité de mouvement est proportionnelle au Débit massique et à la différence des vitesses \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\):
$${{Q_m(\vec v_2-\vec v_1)}}={{\sum \vec F_{ext} }}$$
Avec:- \(Q_m\): Débit massique
- \(\vec F_{ext}\) comprenant les forces de pression de la paroi, du fluides en amont et en aval, ainsi que des forces volumiques
:
Démonstration du théorème d'Euler
1
Durant l'intervalle de temps \(dt\):
$$d\vec p={{dm_2\vec v_2-dm_1\vec v_1}}$$
Avec, un régime stationnaire:
- \(dm={{\rho SVdt}}\)
2
En vertu de la conservation de la matière:
$$Q_mdt=dm_1=dm_2$$
Avec:
- \(Q_m\): Débit massique
3
Donc, d'aprés la
Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique:
$$\frac{d\vec p}{dt}=Q_m(\vec v_2-\vec v_1)=\sum \vec F_{ext}$$
Généralisation du théorème d'Euler
Dans le cas général, le theorème d'Euler s'écrit comme:
$${{\sum\vec F_{ext} }}={{{\subset\!\supset} \llap{\iint}_\Sigma \rho\vec v(\vec v.\vec{dS}) }}$$
Avec:- \(\Sigma\): une surface de sortie
- \(\rho\): la densité volumique
Equation d'Euler
Equation d'Euler